中科大家长论坛

标题: 一道争议了八百年的松鼠难题，让多少数学家兴奋不已 [打印本页]

作者: 18数宁静致远 时间: 2018-11-14 10:54
标题: 一道争议了八百年的松鼠难题，让多少数学家兴奋不已

超级数学建模

肥水不流外人田
你竟然造了这么多松鼠

史上最著名的一道松鼠数学题是这样的：

上帝从伊甸园抓起一把土捏成松鼠亚当，又抽他一根肋骨变作松鼠夏娃。他们都有不死之躯，自由自在终日玩耍。由于太贪玩，二人从第二月开始每月生下兄妹一双。兄妹本着肥水不流外人田的精神，同样自二月大时生小兄妹一双并以每月2只的进度继续下去，小兄妹继续小小兄妹，然后小小生小小小，小小小再小小小小……

这是一道天堂里的题，一切情况理想化，所以夫妻从来没有外遇。一年之后伊甸园里统共有几对松鼠呢？

算法是，新一月松鼠总数=上月总数+上上月总数（因为每个月只有辈份最小的兄妹不生育，年长的则两只生两只，数量翻倍）。于是按月排列，松鼠对的数量是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……后一项总是前两项之和。

如果我说的不明白，当然也可以画图求解：

眼尖的朋友们也许会看出来，这道被我篡改的难题原型是兔子，出题者是“中世纪最天才的数学家”斐波纳契（Fibonacci）。虽为天才，但惧怕老爸，该本性成为他的标签永世流传（Fibonacci意为Bonacci的儿子）；“兔子问题”正是身为商人的老爸留给他的一道作业。

“0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987……”被称为斐波纳契数列。这位数学家更通俗的一项成就是将阿拉伯数字引入欧洲，于是当中国人写下“叁万捌仟肆佰陆拾壹加玖千贰佰伍拾柒等于肆万柒仟柒佰壹拾捌”时，欧洲人已将晕头转向的“xxxvMMMCDLX+MxCCLVII=xlvMMDCCXVIII”打入冷宫，转以“38461+9257=47718”代之。

言归正传，只有数学家才会因为一串产地伊甸园、毫无生产力价值的数兴奋不已。若真如此简单，斐波纳契数列也不能纠缠世人800年。

让我们先看动物界“疑难杂症”最多的小蜜蜂家族。除了一只蜂皇，所有劳动人民都是雌性，为双亲所生；雄蜂却是孤雌生殖的产物，是没有爹的短命仔。如下图所示，我们用拿一柄矛的“战神”表示雄性，用梳妆镜符号表示雌性，顺藤摸瓜地把二者祖宗八代都列出来。雄性的上辈、上上辈、上上上辈、上上上上辈祖宗数目分别为1个，2个，3，5，8，13；雌性2，3，5，8，13……于是斐波纳契数列显灵了。

如果连蜜蜂一例你都嫌太过“数学”，下边的例子保准属于美学范畴。

首先让我们以“斐波纳契数”为边长画出一组正方形（下图右上），由于数列中每数都是前二之和，所以不论你停止在哪个斐波纳契数，这些正方形都恰能转着圈地码成一个严丝合缝的“斐波纳契矩形”；再连接每个正方形的对角画出四分之一圆周——螺壳就这样诞生了！更多有趣的数学故事，推荐阅读《数学之旅》

绝妙的是，图中这颗螺壳卷了快三圈，最后两段圆弧的半径比55/89已经非常接近黄金分割的数值0.618。

你可以除除看
——实际上斐波纳契数列越向远方伸展
相邻两数之比则离它越近
这道理正好像追求完美的道路“永无止境”

如果你数学再好一点，懂得勾股定理，请挑战下图右上的蓝线，你能看出来吗，这两条蓝线之比也总为黄金分割0.618。这颗螺，比划比划衣壳上的线段，它无法参透自己为什么在这一刻被斐波纳契数列灵魂附体，也不明白自己怎么长出这么多黄金分割，但它仍然美得不行；在大街上，有时候可以看到裸露的肩膀上晃着经典的“黄金分割模式图”纹身（下图右下），你便知道这位美女与科学是相结合的。

陈述了若干神秘现象，还需用一个有解的题目结束本文。

一头向日葵，中心的瓜子一律排成两组螺旋（如红色所示）。虽然螺旋的数目会因头大头小而变换多少，但它们总是连续的两个斐波纳契数。如果你能看清我画的红道，就可以在这朵中型大小的向日葵中得到验证，这里的两个斐波纳契数分别为21和34。可惜小时候从向日葵上扣瓜子的经历，既没有变作大脑里的数学，也没有变成眼里的美，倒是化作了门牙上那个豁口。

用同样方式体现斐波纳契数列的还有如下“菜市场系列”，你总是能在这些圆鼓鼓的表面上发现顺反两组螺旋，二者数目在一串有名的数列中互为左邻右舍，比如图中松果是8和13，菜花是5和8。所以，每当进入菜市场，你其实已经卷入了一场斐波纳契狂舞。

果实的斐波纳契排布本属生物问题，然而它的解答却在一个中国的物理实验室现出端倪。科学家做出一些非常微小的凸起，用软软的银做核心，用坚硬的二氧化硅做外壳，当小凸起遭到快速冷却，坚硬外壳就会受到均匀拉扯……（此处省去千余字，见下图）从而莫名其妙地在没有生命的小凸上长出无数小痘痘，自动排成向日葵瓜子的阵列。这种排布体现了对能量的最低要求，还能同时保证小痘痘等距排列。

结论是，向日葵头和菊花头不想减肥，所以从来不会费很大力气地把自己长成有棱角的方脸，然后将种子码成方阵；它们一致喜欢的则是平滑的圆锥形脸，并让脸上的小痘痘长成两个斐波纳契数的螺旋组，这不光最省体力，而且还能保证你吃到的瓜子既饱满又等大。

井井有条的习惯固然不可多得，但是人乱七八糟同样可以活得很好。
至于植物何以固执地摒弃无序、通过上万年突变的积累进化出一张完美的数学脸，我只能叹一句“神奇”作为回应。

via：科学松鼠会

作者: 大路 时间: 2018-11-14 17:25
看文章应该有图片，但没有看见呢。

作者: 闲庭漫步 时间: 2018-11-15 08:56
谢谢分享哈！

欢迎光临中科大家长论坛 (http://zkdjz.com/)