在这里,再转一篇<对话恽之玮学长>

经常会到各高校去转一转,在北大数学院网站上看到一则消息,说,北大2000级校友恽之玮获2012拉马努金奖,想起我曾在神州网上转过一篇有关他的文字,现贴在这里,以飨各位科学家.

注：恽之玮是IMO第41届金牌得主，北京大学数学科学学院00级的学生，后去Princeton读研，2009年
至2010年期间在高等研究所（Institute of Advanced Study）工作，目前在MIT就职，主要工作方向为几何表示论（Geometric Representation Theory）。

对话恽之玮学长            

王志宇：学长是什么时候开始下决心做纯数学？
恽之玮：是在高中和大学之间，参加完竞赛之后。我有一段时间不想做纯数学，也可能是题做多了有
点厌烦，想念计算机或者其他的。后来碰到南大的一个老师，她跟我说纯数学还是很有意思的，越念下去越有意思
。我进大学后就一直觉得纯数学很有趣，后来就没有动摇过。

            王志宇：你们那届做纯数学的有多少人？
            恽之玮：现在还在做的大概有十个人或者更多。从之前和之后的比较来说这都是一个local的最大值
，整体的不能说。
            姜子麟：现在是否诱惑比较多，容易半途转行？
            恽之玮：你说是应用方面，嗯，这个一直有很多人，数学学院毕业的做这些的是大多数人。做金融，
统计啊等等。我个人对这些不太感兴趣。
            姜子麟：学长当年如果转向了计算机，现在的轨迹会是什么样的？
            恽之玮：我高中时候喜欢的那种计算机其实就是编程序，像现在的环境，清华有姚班，我也有可能去
上。你们也知道那些竞赛题，有些组合跟计算机题挺像的，当时做的有点腻了，如果以我当时的状态，可能就不会
选择进一步研究类似组合的问题。我觉得数学的好处在于，可能解问题时，最后还是要用一些组合的办法，但问题
的方面更加广，像几何的数论的。同样的想法，可以有不同的包装。表面完全不同的问题，最后的想法又是相通的
。
            盛开：学长刚接触到大学课程的时候，对那些课程的感受是怎么样的？
            恽之玮：上大学之前，我买了一本拓扑的教材。当时看不懂，但我觉得他讲得很清楚。大一寒假里，
我再翻一翻，越看越有意思，拓扑是吸引我的一个方面。还有一个就是Galois理论，当时老师也没有时间教，主要
是自己看的。像Galois理论，它证明五次方程没有根式解，中学里就听过，但一直不知道是怎么证的。我一直对它
挺感兴趣。我对群的概念比较感兴趣，这两个都涉及到群的概念。对我比较影响比较大的几门课，高峡老师当时给
我们讲了“模形式”，这门课非常适合本科生，是一门很综合的学科。现在不用着急，今后肯定要学一学。它把拓
扑，复变还有群论这些东西都综合在一起，学了之后你会发现，前面的东西你可能都没学懂，真正用的时候不会操
作。

王志宇：学长在低年级的时候就学这些高级课程？

            恽之玮：我是在大三时候学的模形式。我听说你们现在越学越早，有些同学二年级就开始学代数几何

。我前面两年对拓扑和微分几何感兴趣，后面才转向代数几何。我当时还参加讨论班，郑志明老师讲动力系统。高

峡老师的讨论班不限定题目，可以读一个东西或者自己想点问题。当时陈维桓开了个研究生课程，是黎曼几何，我

也去听了这个课。那个讲的更一般一些，相比本科的微分几何来说。其实研究生课程也不见得比本科的难多少，如

果你把数学分析和代数学的比较好的话。


            恽之玮：抽象代数其实应该早点学。依照我们的传统，比我更早学数学的人当中，学几何还有分析的

比较多，学代数、数论、表示论这些都相对比较少一些。这可能就是因为我们代数学的时间比较靠后，而且讲的东

西也不是很多。你们现在有抽代二，抽代二其实是研究生的课。如果把抽象代数一、二这两门都上下来，肯定比我

们当时学得多。至少Galois理论，作为一个本科生，作为一个数学系的本科生，你一定得知道是怎么回事。相当于

是数学在前一个世纪，也就是十九世纪最大的突破吧。学数学肯定得知道这个。


            姜子麟：有时候会觉得学习代数有点枯燥，这方面学长怎么看？

            恽之玮：你们学抽象代数是吧。我当时学群的时候也觉得很抽象，证明的那些关于群的定理，都是很

抽象也很一般的，那些论述对所有群都是成立的。其实学群不应该这么学，应该学个别的具体的群。而且不要光学

群，要学习群在空间中的作用。群作用的概念现在是有的，但是你对于每一个群都要想一想它作用在什么上面。如

果你凭空造出来一个群，不作用在任何东西上面，它是没有意义的。比如说学习Galois理论你就知道了，这个群作

用在这个域上。如果群不作用在任何东西上，就没有存在的意义。


            王志宇：学长能举一些更具体的例子吗？

            恽之玮：以前那个杨磊老师——现在不知道还开不开课，我们受他影响挺大的——他当时叫我们念

Klein的《二十面体与五次方程》。那本书是二十世纪初翻译的，语言跟现在的有些不一样。但是它的内容都是很

具体的、可以动手算的，我们当时做了个二十面体模型来看这里的对称群。它还可以被用来解某些五次方程；或者

换句话说，五次方程不能用根式解，但是可以用椭圆函数解。相当于当时的数学基本上都能归纳到这本书里了。当

时数学其实已经很丰富了，当时的比如模型式的理论，虽然不算很系统，但是模型式里的特殊函数、矩阵、线性变

换群，还有Riemann曲面、常微分方程——你可以将里面的东西翻译成Riemann曲面的语言。这样书如果认真看的话

可以学到很多东西。一般书讲的很抽象，上来看两页就不想看。但这本书不用当任务看，你可以当消遣看。能当消

遣看的数学书不多。


            恽之玮：我在Princeton的导师叫MacPherson，是个拓扑学家，也做代数几何和表示论，但他拿手的

是拓扑。当然他现在在考虑一些应用数学问题，也很有意思。我没有跟他学过这些东西，但是完全是纯数学里的想

法，相当于开创了拓扑的一个新的方向。他告诉我，一定要注重例子。比如说找几个曲线、曲面作为例子来算；定

理成立与否的条件，这个条件是否必要也，可以举个例子。这一方面帮助你理解一般性的定理：有些时候通过分析

一个例子你可以就知道一般性的问题该怎么做了；另一方面在今后做研究的时候，很多研究中的问题都来源于例子

，而不是抽象的理论。最终的研究成品可能是一个推广了的、发展了的理论，是一套抽象的东西，但其实研究者的

出发点肯定不是这样的。有一个具体的问题或具体的例子，原来的工具不够用了，从而迫使他来发现、来改进别人

的结果，于是新发展了一套工具，而不是为了发展这个而发展。一定要以例子为中心。也有个别不看例子的，像

Grothendieck，他是代数几何的一代宗师。这种人毕竟是少数，他的逻辑思维的能力太强了，很少能有人能达到这

个程度。其他的数学家，虽然写的有些东西很抽象，但他的想法，如果你跟他交谈或者是了解他私下里怎么思考，

其实都是例子。

姜子麟：那怎么能挑选一个比较好的问题作为自己的入手？

            恽之玮：其实我这方面也不算成功，我刚开始做本科生科研，跟着姜伯驹老师和王诗宬老师，最后什

么都没有写出来，我也是不好意思的。其实本科生科研里有很多很具体的东西，上手并不难，是可以操作操作的。

但是我自己没有找到什么比较好的问题。


            王志宇：您当时是跟那两位老师做什么方面的？

            恽之玮：姜伯驹老师让我读一些关于辫群的东西。那是很有意思的东西，我现在还很感兴趣，和纽结

理论有一些关系，里面又有一些代数的操作，你可以具体地去算。但是我最后也没做出什么东西来。王诗宬老师当

时开了一门课叫几何群论，几何群论的主要观点就是把每一个群都看成空间的基本群，换句话说就是把群作用在一

个拓扑空间上。把每一个用几何的观点来看，然后推导出一些纯粹关于群的一些性质，也就是代数的性质。但是用

几何的观点去看，你就看得自然一些。这个也是很有意思的一个学问，但是我的主要的经历还是放在学上面了。其

实本科生搞科研可能还是早了点，当时我也没有找到什么合适的问题。


            王志宇：学长是认为本科生具有的预备知识太少了嘛？

            恽之玮：对，后来我在Princeton读研究生的时候有一些同学，他们本科的时候多少做过一些科研的

，而且有的还写出文章来了，但是我觉得那个意思也不是很大。老师是手把手地把问题给你，大概怎么做给你，然

后当然你自己需要一些聪明才智。但是即使你做出来，最后对整个框架性的东西还是不太了解。这个问题为什么要

这么提，它的来龙去脉怎么样，不可能在这么短的时间又做出来又了解它的背景，总会是有得有失。他们拿出来的

成果表面上比我们厉害，因为本科生的时候就有论文发表。但是我觉得不用急，不用急着做原创性的东西，但不要

说人家做过的我就不去算，如果你要练习就还是要上手。你做的目的不是为了发现一个新的东西，至少你不能有意

地去发现，你可以研究例子的时候无意地去发现。有时候你盯着一个最简单的例子来问，就可以问很多很多问题。

基本上任何一个简单的问题最后问到足够深都能问到那种open
            problem不一定是别人做不出来的，但至少是别人没有考虑过的。这个也是很重要的一件事：提出问

题。


            王志宇：平面几何给人以形象的直观，但现代的几何就非常抽象，与我们所能看见的事物似乎没有什

么联系了，这些理论究竟是在研究什么样的问题呢？

            恽之玮：这个问题物理上有一些动机，研究弦理论的学者认为世界是高维度的，并且具有一些结构，

例如Calabi–Yau流形。数学上，比如代数几何，它的动机是研究多项式方程组的解，当变量增多的时候，维数自

然就高了。代数几何学家想问题的时候，经常画一些图，只用到了一维，二维，三维的直觉来画一些类比的图形。

比如画一条代数曲线，代数曲线应该是一个Riemann面，是二维的，他可能就画一条线来类比。很多情况看是看不

见的，最多就能看到三维流形。我们平常只能看到最简单的三维流形，是在欧氏空间中的，那还有很多很复杂的三

维流形，那些就只有从事三维流形研究的人能够想象了，他会做一些手术，比如粘合。比如Thurston，他主要研究

三维流形，他就能在脑子里清楚的看到一些三维流形。也有时候，他们不是在想那个流形本身，而是划归为一些相

对熟悉的东西，比如高维的球面，虽然不知道它的样子，但是还是能稍微想想的。还有一些流形，或者是代数几何

中研究的代数簇，它局部上有的时候就像一个球一样，有的可能带有奇点，比如可能像一个锥。其实都是在用一些

熟悉的图形在类比，只不过维数变高了。

王志宇：学长在Princeton学习和工作辛苦吗？能保持一直高效率的状态吗？

            恽之玮：还可以，以前田刚老师跟我们说，他每天要工作12个小时。我数来数去我数不到，反正我自

己工作不到12个小时。我觉得有时候不要太苛求自己了，只要不浪费时间就可以了。我们当时，第一年要通过一个

博士生资格考试，那个就可能花一个学期准备准备，那些都是考基础的知识为主，加上两个自选科目，形式是口试

问答。之后最困难的就是需要找一个问题做，这有时候比解决问题还要困难。各个导师不一样，有的导师会给你一

个问题，有的导师甚至把答案都告诉你，有的导师不给你问题也不给你答案，这个看运气了。但是最终你是要自己

找一个问题了。


            姜子麟：物理学家推导命题的时候经常不会特别严格，那做数学的时候会不会在某些步骤就一步跨过

去呢？

            恽之玮：对，你先要往前看几步，大概看看这个路能否走通。不能说，我一直往前推进，遇到一个问

题就一直卡在那里。有的时候，你可能觉得这不是一个大问题，比如稍微加一个条件，或者是觉得再花点功夫能做

出来。所以应该先往前看几步，回来再补一补。当然这个要有一定的直觉了，有时候你可能看的是不对的，觉得能

做出来，其实做不出来，这也有可能发生，这就比较糟糕了。至少需要试着举几个例子，有时候一试就发现错了。

            王志宇：学长接下来是准备一直待在美国吗？

            恽之玮：这个目前还不知道，我接下来就是做两年博士后，做完了还要再找工作，希望能找到个比如

教授的职务。现在美国属于找工作比较苦难的时期，因为金融危机之后，对于学校经费的影响有一定的滞后效应金

融危机后，金融市场可能已经好转了，但是学校的拨款，有的是政府拨款，有的是私人捐款，还是会受到前两年的

影响。今年用的可能是去年或者前年的资金，或者是前年就已经规划好了，所以它会滞后一些，这对找工作有一些

影响。

     

            姜子麟：据我所知，美国的教授职务属于继承式的，比如某个方向上一个教授退下去了，才会招一个

做相同方向的教授，这些会对决定自己研究方向或者寻找工作带来很多限制吗？


            恽之玮：美国有一些系只重点发展几个方向，基本上教授的总数总是保持差不多的，可以说退一个才

能要一个。有几年是退休的高峰，工作就比较好找。申请工作的时候，不会第一名到第五十名的学校都去申请。事

实上，有些学校肯定不会录取你，因为那个学校没有做你那个方向的。比如做代数几何的，到有的学校，那里一个

做代数几何的都没有，审你材料的人不会对你感兴趣，所以选择不是特别多。美国有那么多学校，上百个学校，具

体到每个方向，能有二十个学校选择已经很不错了。

王志宇：在美国，从学校出来，如果无法找到相应的工作，会怎么办？

            恽之玮：一般就只能自己退出了。每个学校，比如说，今年招了20个研究生，但是它只招5个博士后

，也就是说，如果每个学校都这么算的话，有四分之三的人就找不到工作了。如果是这样的话，有些人会选择往世

界其他地方分，有回国的，有中途转业，但不是转得特别离谱的，比如转到应用方向的，或者是统计的，有的就在

统计或者应用的方面做一些应用或者研究，做教授，有的就到工业界。


            姜子麟：您当年是如何申请到Princeton的研究生的？

            恽之玮：我觉得它一般就是看成绩。

            王志宇：学长当年有多少同龄人去了像Princeton这样的比较好的学校？

            恽之玮：有一个袁新意是我同学，他比我早一年毕业，3年就毕业了，他在Columbia大学做得很好，

是张寿武的学生。我这一年毕业的有张伟，后来也师从张寿武，也在Columbia大学。还有一个叫朱歆文，去了

Berkley大学。当年申请有两个99级的，比我们高一级，他们是三加二，三年本科，两年研究生，有一个和我去了

Princeton大学，我们是同学，还有一个去了MIT。Stanford有一个念统计的同学。所以这些学校每年都会要北大的

学生。


            姜子麟：在Princeton求学的过程中，有没有发现国外学生一些特别的地方值得我们学习？

            恽之玮：我说的可能不是普遍情况，但是就我接触到的，我有一个师兄，也是和我同一个导师的，给

我印象最深的就是他的问问题的能力比较强。比如我们听同样一个报告，听完了我就问不出问题来，而他就能问出

问题来，而且问问题问得很有意思，问的是那种确实值得去思考的问题。有的人虽然也能问问题，但问的内容，就

比如这个理论能不能推广到高维，比较一般性的问题实际上没有多大意思。我的那个师兄问的问题就是针对那个讲

座的，特别具体的一些问题，这个能力，我觉得，不是能够教出来的。可能大家讨论的话，情况会好一点，讨论班

的话，会比较随便一点。比如黑板上就抄着一个定理，也不用管它的证明，那能不能就这个定理问一些问题？这个

定理一定要去欣赏，很多时候写了一个定理，然后开始证明，证明完了，课也结束了。其实证明是其次的，如果真

正感兴趣了，再去看证明，但首先需要欣赏，这个定理漂亮在哪里？有用在哪里？要花甚至比看证明更多的时间来

想这个问题。当然，我现在是这么说，但我学的时候也不是这样，自学的时候也是看看定理的叙述，有时候自己再

想一想，有时候想不出来就看看人家怎么做的。其实这些都是中学的学习方法，是不对的，真正学数学不应该这么

学。

好文章。三点体会：
内在兴趣所产生的动力是最长久的动力来源。
往往看上去最枯燥的东西，却具有最神奇的吸引力；往往看上去最没有实用性的东西，却是实用的最高表现形式。
提出有思考价值的问题的能力，是衡量潜质和前景的重要标志。